La teoría de las proporciones tiene una historia basada en el libro quinto de los elementos de Euclides, en donde se relacionan magnitudes homogéneas entre si y no se admiten operaciones entre cantidades que no pertenezcan a la misma especie, es por tal razón que no se admite relacionar con proporciones, segmentos con áreas o con volúmenes, sumado a esto no se permite relacionar por medio de proporciones magnitudes infinitas con magnitudes finitas, es así como en física la velocidad entendida como razón no se puede sumar con aceleraciones o con desplazamientos, por no pertenecer a magnitudes de la misma especie. La teoría de las proporciones en cinemática se aplica relacionando el desplazamiento con el tiempo empleado, en donde esta magnitud es conocida como la velocidad.
Según la propuesta de Eudoxio acerca de las razones y proporciones que recoge el libro quinto de los Elementos de Euclides en la definición número 4 [Elementos], dice que dos magnitudes están en razón si es posible al tomar un múltiplo de la una, sobrepasar a la otra. Tal como lo dice la definición y en la misma línea aparece la definición 5 [Elementos] en donde se indica bajo qué criterio se pueden considerar dos razones idénticas. En la definición 6 de los elementos se introduce el término proporción para indicar magnitudes que están en la misma razón. De tal manera se reconocen los Elementos como el primer texto en donde se tratan razones y proporciones con detalles en la demostración.
La interpretación de lo expuesto por Eudoxio en la teoría de razones y proporciones es complicada, comenzando por la interpretación del libro quinto de los Elementos escrito en Griego antiguo, Con frecuencia se ha explicado la teoría expuesta por Eudoxio en los Elementos por medio de notación algebraica, de la siguiente manera , si para todo par de enteros m, n se tiene , o o si y solo si o respectivamente, esta traducción desde el punto de vista formal es adecuada, pero desde el contexto de la historia no es la mejor, debido a que según Eudoxio no se puede realizar este tipo de operaciones entre magnitudes si no son homogéneas. El lenguaje geométrico directo y lenguaje ordinario son los únicos aceptables para dar explicación a la matemática griega [Unguro, 1985, 172], así la explicación algebraica arriba expuesta es errónea desde un contexto histórico.
La exigencia de Eudoxio en proporcionalidad entre magnitudes trae consecuencias a todo nivel, en la matemática griega no se encuentra operaciones tales como: suma, resta o multiplicación de magnitudes no homogéneas, es más no se encuentra multiplicación de magnitudes homogéneas porque, obviamente se producen magnitudes que no están en contexto con las que la producen, en el libro de los elementos se tratan razones entre magnitudes de la misma naturaleza y nunca se comparan magnitudes como segmentos y áreas, estas relaciones no tienen correspondencia en el libro de los Elementos, la conservación en la homogeneidad de las magnitudes se mantendrá al menos hasta el siglo XVll.
Aunque según la definición 4 de los Elementos, dos cantidades para ser comparadas una debe poder ser multiplicada por un múltiplo entero y sobrepasar a la otra, lo que no es lógico con magnitudes inconmensurables, porque ninguna multiplicación sobrepasara la magnitud inconmensurable, eso nos indica nuestra razón, pero Eudoxio relaciona los lados de un triangulo rectángulo con la diagonal de un cuadrado, que desde hace ya algún tiempo era bien conocido que no era un número entero de unidades, entonces se relacionan magnitudes conmensurables con magnitudes inconmensurables por medio del triangulo de Pitágoras y según algunos autores esta será la teoría de Eudoxio sobre la relación entre magnitudes que al parecer son infinitas con magnitudes finitas.
La última consecuencia inmediata de la definición de Eudoxio es la imposibilidad de considerar las proporciones como igualdad entre fracciones, por consiguiente es imposible considerar que si la razón entre a y b es igual a la razón entre c y d, se cumpla que ad sea igual a cb, es más la imposibilidad de considerar la razón entre a y c con la razón entre b y d, hasta no tener la certeza de tratarse de magnitudes homogéneas. La historia muestra diferentes interpretaciones de las proporciones, tales visiones de las proporciones se pueden observar sobre la proporción de números tal como la expresaban los hebreos, la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro de la circunferencia, esta razón es el número . Así se establece una ejemplo de proporción numérica [Razonamiento proporcional, 18].
El razonamiento proporcional ha evolucionado desde la concepción de Eudoxio [3] hasta nuestros días, de manera que con Galileo Galilei (1564-1642) físico y astrónomo relaciono cantidades de espacio con cantidades de tiempo, en donde se cambio el principio de relación de cantidades no homogéneas, se falta al principio del quinto libro de los Elementos en las definiciones de razón y proporción en donde se dice que solo hay razones entre cantidades homogéneas, para Galileo las razones se podían establecer entre magnitudes heterogéneas, ellas solo debían estar relacionadas por medio de su conexión física, Galileo se dio cuenta de la relación que guardaban el espacio recorrido con el tiempo que tardaba en recorrer ese espacio y las relaciono de tal forma que hallo la velocidad como la razón entre espacio recorrido y tiempo empleado en recorrer esta distancia.
En el pensamiento de Galileo se relacionan cantidades heterogéneas, así como lo son la velocidad, conocida como la razón entre espacio y tiempo, de aquí que no se cumple el razonamiento de Eudoxio [3] sobre proporciones homogéneas. Y no solo con cantidades tales como la velocidad. Pero aun así la proporcionalidad y el principio de Eudoxio si tiene equivalencia en la cinemática por ejemplo en ecuaciones tales como [Ecuación 1], en donde se puede realizar un análisis dimensional a la ecuación y se obtiene que la parte de se puede observar que el tiempo tiene unidades de segundo al cuadrado y la aceleración tiene unidades de distancia sobre tiempo al cuadrado por lo cual se cancelan unidades de tiempo y solo queda las unidades de longitud, después se procede a analizar la primera parte de la ecuación 1, en donde las unidades de velocidad son metros sobre segundo y las unidades de tiempo son segundos, por tal razón se cancelan los segundos y quedan unidades de longitud.
Esta es la razón por la que las cantidades homogéneas quedan a los dos lados de la ecuación unidades de longitud, es por este motivo que se cumplen los principios de Eudoxio expuestos en el libro 5, la definición cuatro, cinco y seis en donde se deben mantener las magnitudes homogéneas para realizar operaciones como la suma o la resta, pero la razón de cantidades como la velocidad y como la aceleración si se pueden establecer entre cantidades heterogéneas, es así como Galileo llega a relacionar magnitudes de longitud con magnitudes de tiempo para hallar su razón, pero aun así se mantiene la definición número 6, solo se pueden sumar magnitudes homogéneas.
Los conceptos expuestos sobre razón y proporción, tienen una intima relación con los conceptos físicos expuestos en cinemática, la razón de dos cantidades no homogéneas tal como lo es 20 mill/h, puede observarse la razón que existe entre longitud recorrida y tiempo que tarda en recorrerla, en este caso recorre 20 millas en una hora, o se puede entender como 20 millas por cada hora transcurrida. Así queda empleado el término de razón entre magnitudes heterogéneas relacionándolo con física y empleándolo en la construcción del concepto de velocidad, el cual es fundamental en el razonamiento abstracto, como razón de cambio se plantea en los estándares de educación, los estudiantes deben ser capaces de establecer relaciones de proporcionalidad entre magnitudes físicas.
REFERENCIAS
1. Carlos Ernesto Holguín Ortega, Razonamiento proporcional, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá 2012.
2. Euclides, Elementos de Euclides, Grecia (325-265 a.c)
3. DRAKE, S. 1987 « Euclid Book V from Eudoxus to Dedekind » History in Mathematics Education, Paris, 52-56.
Escritor: DIEGO ALEJANDRO LOPERA BERNAL