Tópico: CONOCIMIENTOS PREVIOS EN LA GEOMETRÍA ANALÍTICA. Un caso sencillo.

En el proceso de enseñanza-aprendizaje del mundo los números y las formas, como en otros campos, los conocimientos previos son muy importantes para poder comprender y manear mejor el tema tratado. Así como necesitamos de otras disciplinas para mejor entendimiento y aplicación de la matemática, debe hacerse hincapié en que cada conocimiento nuevo es asimilado según las ideas o conceptos previos que se tengan al respecto ya que se modificarán las estructuras mentales del indagador para generar otras nuevas (o modificadas).En otras palabras y valga la analogía, el conocimiento es una gran cadena donde si un eslabón está muy débil, se romperá al leve o moderado esfuerzo aplicado. Así el nuevo conocimiento estará incompleto o generará dudas y no soluciones.

matemático. Se dedica el siguiente breve espacio para comentar quién sentó las bases: 1650) fue un niño precoz aunque de frágil salud. Fue educado en diversos campos del conocimiento como latín, griego e inclusive retórica. Su escepticismo natural le llevó a ampliar sus saberes al área matemática y filosófica. Es en estos dos últimos campos que destacó enormemente a tal grado que se le ha considerado un gran pensador del siglo XVII.

(1644) entre otras no menos importantes. En la parte final de su primera obra se incluyó un ensayo sobre geometría; fue una gran aportación al mundo de la matemática pues sentó las bases de lo que conocemos como Geometría Analítica, es decir, en palabras muy sencillas, es la geometría tomada desde el punto de vista del álgebra. Hoy en día, todos quienes cursan estudios medio superiores de matemáticas han trabajado en más de una ocasión con los conocidos ejes cartesianos o el plano cartesiano, llamados así en su honor (Figura 1).

Figura 1. Plano cartesiano. Primer cuadrante En Geometría Analítica Plana uno de los temas iniciales es el cálculo de la distancia entre dos puntos cualesquiera y generalmente se utiliza una sencilla fórmula la cual se deducirá. En el nivel bachillerato, podemos preguntarnos ¿cómo puedo calcular la distancia que existe entre un punto dado A y otro B sin medirla directamente? Vamos por partes. Sean los puntos A(X1, Y1) y B(X2, Y2) en el plano cartesiano. Recordemos que las expresiones entre paréntesis son coordenadas cualesquiera de esos puntos. Deseamos conocer la distancia d que existe entre dichos puntos. Comencemos por proyectar las coordenadas sobre el eje X y Y respectivamente, es decir, son las líneas punteadas perpendiculares a los ejes y las nombramos de la misma manera: X1, Y1, X2, Y2 (Figura 2). Figura 2. Distancia d entre los puntos dados A y B con sus respectivas coordenadas.

¿Y ahora qué podemos hacer en la figura anterior? ¿Qué sucede si prolongamos hacia la derecha la línea punteada de Y1 a A(X1, Y1)? (Figura 3, está señalada con una flecha). Llamémosle C al punto de intersección con la vertical punteada que tenemos desde B(X2, Y2) al eje X Figura 3. Prolongamos el segmento indicado hasta un punto denominado C ¿Cuál figura geométrica se formó? si nos fijamos bien tenemos el triángulo rectángulo ΔABC, con su cateto horizontal (AC) ̅ , cateto vertical (BC) ̅ y la hipotenusa (AB) ̅ … ¡que es d! Esto es algo importante. Sucede que la distancia que queremos calcular es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. ¿Cómo la calculamos? el Teorema de Pitágoras es la solución. Recordemos que el enunciado dice que “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de su hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos” En símbolos se representa y según nuestra notación d^(2 )=(〖(AC) ̅)〗^(2 )+ (〖(BC) ̅)〗^(2 ) (1) Para su aplicación (en nuestro caso), necesitamos conocer el valor de cada cateto, es decir, la distancia de X1 a X2 que es (AC) ̅ así como de Y1 a Y2 que corresponde a (BC) ̅.

¿Cuánto mide el cateto horizontal (AC) ̅ ? (esto es algo que a menudo el alumno duda en contestar) Podemos hacerlo sencillo utilizando valores numéricos y no variables por el momento. Por ejemplo, si X1 = 2 y X2 = 8, ¿cuánto mide la distancia entre ambas? Cualquiera dirá 6 efectuando una resta o diferencia…pues ahora pidamos que esta resta se exprese en símbolos: el cateto horizontal mide X2 –X1 y análogamente el cateto vertical (BC) ̅ mide Y2 – Y1. Sencillo…. Ahora lo anotamos en la figura anterior (Figura 4) Figura 4. Valores de los catetos. Ahora, sustituyendo esta simbología en la expresión (1) tenemos lo siguiente: d2 = (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2 (2) Por último, alguien notará que no estamos buscando la distancia al cuadrado sino d simplemente. ¿Qué hacer? Aplicamos la operación inversa de la potenciación que es la radicación (así como multiplicación y división, por ejemplo) en ambos miembros de la igualdad.
Tenemos entonces

√(d^2 )= √(〖〖(X〗_2- X_1)〗^2+〖〖(Y〗_2-Y_(1 ))〗^2 ) (3)

O bien

d= √(〖〖(X〗_2- X_1)〗^2+〖〖(Y〗_2-Y_(1 ))〗^2 ) (4)

Que es la fórmula en geometría analítica plana para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera. Observaciones para el joven lector La deducción sigue un proceso que es sencillo siempre y cuando tengamos los conocimientos previos de álgebra, geometría plana y trigonometría suficientes y mínima habilidad en su manejo. Debemos repasarlos y practicarlos. ¿Puedes señalar específicamente los conceptos o ideas previas que se necesitaron para la deducción? Como ejercicio indicar porqué en la expresión (3) no se anula el radical de la derecha.

Escritor: Ernesto Escobar Islas

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